ベルヌーイの式

何を言っている？

一本の流線に沿って、速さの分と圧力の分と高さの分を足すと合計が変わらない、という帳簿です。速い場所では圧力が低く出ますが、これは速さが圧力を下げたという意味ではなく、二つが同時に起きているという関係を書き留めた式です。片方が原因ではありません。

読み方の目安

使えるのは、流れが時間で変わらず、粘りが効かず、同じ流線の上で比べ、詰まり具合が変わらないときです。空気ならマッハ0.3ほどまでが目安で、そこを超えると縮む効果を別に足します。四つの条件のうち一つでも外れると、答えはあっさりずれていきます。

どこで使われているか

速さを測るピトー管の原理、絞って圧力を下げるベンチュリ効果、霧吹き、風速計、翼まわりの圧力の見積もり。配管では、太さが変われば速さがどう動くかを連続の式と組にして、圧力がどこで下がるかを先に読みます。霧吹きで液が管を昇るのも、押しているのは液面にかかる大気のほうです。

はまりどころ

翼が飛ぶ理由をこの式だけで語るのは足りません（ベルヌーイだけで飛ぶという説明）。壁ぎわのように粘りが効く場所や、羽根車のように外から仕事が入る場所では成り立ちません。教える側が短く済ませたい場面ほど、この一本に寄りかかりがちです。どこからどこまでの流線かを言えないなら、使わないほうが安全です。

解説動画: 流体力学第17回　ベルヌーイの定理とその意味【機械工学】（コメント欄にて訂正あり🙌）／単位が取れる機械工学【メカニカル大学】

流体のエネルギー保存則: 冒頭で結論を先に置く。ベルヌーイの定理は流体のエネルギー保存則だ。高校で習った物体の保存則は運動エネルギーと位置エネルギーの和が一定で、ジェットコースターが上がり下がりして速さが変わっても、和はどこを取っても同じだった。流体ではそこに圧力エネルギーという項が加わる、その違いだけをまず示す。

圧力もエネルギーの単位: なぜエネルギーの式に圧力が混ざるのかを、単位から詰めていく。パスカルはニュートン毎平方メートルで、分母と分子に長さを掛けるとニュートンメートル毎立方メートルに書き換わる。分子のニュートンメートルはジュールそのものだから、パスカルは単位体積あたりのエネルギーでもある。保存則に圧力が並んでいても問題ない、というわけだ。

流線に沿って積分する: 導出の手順は物体のときと同じだと言う。物体では運動方程式に距離を掛けて単位をジュールに変え、積分して保存則を得た。流体でも前回の運動方程式を流線に沿って積分すると各項の微小な長さが打ち消し合い、不定積分であっさり定理が出る。裏返せばこの式は、定常な流れの、一本の流線の上でしか成り立たない。

圧力が仕事をする能力: 位置エネルギーの正体が重力が仕事をする能力（高さから落ちた物体が地面にする仕事と一致する）なら、圧力エネルギーは圧力による力が仕事をする能力になる。断面積のわかっている管で右向きに流れる流体を追い、一秒間に進む距離は流速と同じだから、圧力がした仕事は圧力と断面積と流速の掛け算だと組み立てる。

押しのけた質量で割る: その一秒間に押しのけられた流体の質量は、密度と断面積と流速の掛け算になる。仕事を毎秒のジュール、質量を毎秒のキログラムで並べて前者を後者で割ると、圧力を密度で割った項、つまり定理に出てくる圧力エネルギーがそのまま現れる。動画に出た二つの式も、片方を密度で割っただけの同じものだと締める。